Максим у 2015 році приїхав до Польщі заробляти собі на життя не спортом. Він спершу працював столяром і робив похоронні труни. Паралельно з працею, займався боксом: жертвував робочими годинами і грошима, щоб мати можливість ходити на тренування.
Перші свої бої з боксу Міщенко проводив у місті Кощежина. Професійний бокс відрізняється не лише правилами, а й публікою. Там були впливові та багаті людей. Тут боксери отримують гроші за перемоги. Перший бій українець провів проти боксера з Гданська Даміаша Тарабуша. Міщенко важко проводив перші три раунди, але все ж зумів зібратися і в останньому, четвертому, здолав свого суперника і вже вранці Міщенко був відомим спортсменом на боксерським змаганнях. За бій йому заплатили чотири тисячі злотих.
Але не все так було добре після першого бою. Виявилося, що український боксер не вигідний для польського боксерського ринку. Переломним моментом для боксера став лист від тренера, який запропонував побоксувати з перспективним польським боксером, якого активно розкручували. Максим зумів перемогти фаворита і потім вже на нього краще звернули увагу і заслужено оцінили.
На цей час Міщенко вже провів 14 боїв, в яких здобув 10 перемог, один звів внічию і зазнав трьох поразок. 13 поєдинків були проведені у Польщі і лише один був проведений в Україні.
У Польщі Міщенко в 2018 році спершу переміг Павела Сзузука, а наступного року українець вже програв цьому боксеру. Між цими поєдинками Максим боксував з Губертом Красускі і здобув звитягу. У 2019-2020 роках Максим святкував чотири перемоги поспіль: здолав поляків Кшиштофа Ліса, Кшиштофа Ставіскі, Пітера Подольскі та Матеуса Ліса.
А от влітку 2021 року відомий польський боксер Марек Матія зазнав поразки українцю, для якого це стала друга поразка. Того ж року Міщенко переміг Даміана Смагіеля, а далі була річна пауза. Після неї Максим у Житомирі в травні 2023 року провів, на даний час, єдиний бій в Україні і святкував перемогу над Олегом Говоруном (на цей час Олег провів 15 боїв, в яких зазнав 14 поразок). У жовтні того року Максим завершив внічию бій з Лукашом Станіохом. Міщенко прийняв неправильне рішення, погодившись провести бій вже через два місяці. Він у бою з перспективним Каєтаном Каліновські зазнав поразки, що третьою в його кар’єрі.
У вересні 2024 року Максим завдав поразки боксеру Даміану Шевчику і після того вже більше року не боксував на професійному ринзі. Але нині відомо, що запланований наступний поєдинок на грудень 2025 року. Суперником українця буде 41-річний поляк Рафаель Дудек. До 2023 року він проводив поєдинку в кікбоксингу, а потім у поважному віці перебрався до професійного боксу. На цей час провів шість поєдинків, в яких здобув три перемоги, одна нічия та дві поразки. Відзначимо, що Дудек двічі поступився Каєтану Каліновські, якому також програвав Міщенко.